Question

10．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且$\overrightarrow{{D_1}E}=λ\overrightarrow{EO}$．
（1）求證：D₁O⊥AC；
（2）若DE⊥平面CD₁O，求λ的值，并求三棱錐C-DEO的體積．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直的判定定理證明AC⊥面D₁OD，即可證明D₁O⊥AC；
（2）由DE⊥平面CD₁O，可得DE⊥D₁O，設(shè)D₁D=2，則DO=$\sqrt{2}$，由此能求出$\frac{{{D_1}E}}{EO}=2$，由|D₁E|=λ|EO|，得λ=2．利用等體積轉(zhuǎn)化，可求三棱錐C-DEO的體積．

解答 證明：（1）∵O是AC的中點，
∴AC⊥DO，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∵DO∩DD₁=D，
∴AC⊥面D₁OD．
∵D₁O?面D₁OD，∴AC⊥D₁O．
解：（2）由D₁D=2，則$DO=\sqrt{2}$，
∴在Rt△D₁DO中，$O{D_1}=\sqrt{6}$，∴$DE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴${D_1}E=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴$EO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$\frac{{{D_1}E}}{EO}=2$，∴λ=2．
${V_{C-DEO}}={V_{E-DOC}}=\frac{1}{3}•{S_{△DOC}}•h$，易知${S_{△DOC}}=\frac{1}{4}{S_{ABCD}}=1$，$h=\frac{1}{3}D{D_1}=\frac{2}{3}$，
故${V_{C-DEO}}={V_{E-DOC}}=\frac{1}{3}•{S_{△DOC}}•h=\frac{2}{9}$．

點評 本題考查線面垂直的證明與性質(zhì)的運用，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．