Question

3．如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=3，AB=2，D是BC上的中點，D₁是B₁C₁的中點，
（1）求證：平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
（2）求四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DD₁，則四邊形ADD₁A₁，BDC₁D₁均為平行四邊形，得出AD∥A₁D₁，BD₁∥DC₁．故而平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
（2）證明AD⊥平面BCC₁B₁，于是V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形{B}_{1}{C}_{1}CB}•AD$．

解答 證明：（1）連結(jié)DD₁，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，又∵AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴AA₁$\stackrel{∥}{=}$DD₁，
∴四邊形ADD₁A₁是平行四邊形，
∴AD∥A₁D₁，
∵AD?平面ADC₁，A₁D₁?平面ADC₁，
∴A₁D₁∥平面ADC₁，
同理可得：BD₁∥平面ADC₁．
∵A₁D₁?平面A₁BD₁，BD₁?平面A₁BD₁，A₁D₁∩BD₁=D₁，
∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
解：（2）∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，AB=2，
∴AD⊥BC，AD=$\sqrt{3}$．
又BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形{B}_{1}{C}_{1}CB}•AD$=$\frac{1}{3}×2×3×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，面面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．