Question

12．已知函數(shù)$f（x）={log_2}（1+\frac{1}{x}）$．
（1）求使f（x）＞1的x的取值范圍；
（2）計算f（1）+f（2）+…+f（127）的值．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡不等式求解即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，化簡求解即可．

解答 解：（1）由已知得${log_2}（1+\frac{1}{x}）＞1⇒{log_2}（1+\frac{1}{x}）＞{log_2}2⇒1+\frac{1}{x}＞2⇒\frac{1}{x}＞1⇒0＜x＜1$…．（6分）
（2）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…f（127）=${log_2}2+{log_2}（1+\frac{1}{2}）+{log_2}（1+\frac{1}{3}）+lo{g_2}（1+\frac{1}{4}）+…+{log_2}（1+\frac{1}{127}）$…（7分）
=${log_2}[2（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{127}）]$…..（9分）
=${log_2}[2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×…×\frac{128}{127}]$=${log_2}128={log_2}{2^7}=7$…．（12分）

點評 本題考查大蘇打運算法則的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．