Question

11．如圖所示，將一個邊長為1的正方形沿中線對半分成面積相等的兩個長方形，再將其中的一個長方形沿中線對半分成面積相等頂點(diǎn)兩個正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次記這些小正方形的面積為a₁，a₂，a₃，…
（1）寫出以這些小正方形面積構(gòu)成的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）猜測所有這些小正方形面積的和大約是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a₃=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n．
（2）數(shù)列{a_n}是公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列．所有這些小正方形面積的和大約是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．

解答 解：（1）由題意可得：a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a₃=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，可得：a_n=$（\frac{1}{2}）^{2n}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
（2）數(shù)列{a_n}是公比q為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列．
所有這些小正方形面積的和大約是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$．
故所有這些小正方形面積的和大約是$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、極限的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．