分析 (1)取PB中點(diǎn)N,連接AN,DM,MN,則MN∥AD,由公理2的推論可得平面α;
(2)分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系,由已知求得所用點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得平面α與平面ABM的法向量,由法向量所成角的余弦值可得平面α與平面ABM所成銳二面角的余弦值.
解答 解:(1)取PB中點(diǎn)N,連接AN,DM,MN,
則MN∥AD,MN與AD確定平面α;
(2)分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系,
∵PA=AB=2,AD=1,點(diǎn)M為PC中點(diǎn),N為PB中點(diǎn),
∴$A(0,0,0),M(\frac{1}{2},1,1),P(0,0,2),B(0,2,0),N(0,1,1)$,
$\overrightarrow{AM}=(\frac{1}{2},1,1)$,$\overrightarrow{AB}=(0,2,0)$,
設(shè)平面AMB的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$,
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\end{array}\right.$,取x=2,得$\overrightarrow n=(2,0,-1)$.
平面α的法向量$\overrightarrow{PB}=(0,2,-2)$,
∴平面α與平面AMB所成二面角的余弦值$cosθ=\frac{{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PB}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定,訓(xùn)練了利用平面法向量求二面角的平面角,是中檔題.
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A. | y=x+1 | B. | y=-x3 | C. | y=x|x| | D. | $y=\frac{1}{x}$ |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | -1 | D. | ±1 |
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