Question

8．如圖，A，B，C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，D為動點(diǎn)，DC=2，且DC丄BC，當(dāng)點(diǎn)D從O₁，順時針轉(zhuǎn)動到O₂的過程中（D與O₁、O₂不重合），異面直線AD與BC所成角（　�。�

• A． 一直變小
• B． 一直變大
• C． 先變小，后變大
• D． 先變小，再變大，后變小

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CO₂為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CO₂為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，0），設(shè)O₁O₂=2t，∠O₂CD=θ，0°≤θ≤180°，
則CD=t，D（0，tcosθ，tsinθ），
$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，tcosθ+$\sqrt{3}$，tsinθ），
設(shè)異面直線AD與BC所成角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}•\sqrt{3+（tcosθ+\sqrt{3}）^{2}+（tsinθ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6+{t}^{2}+2\sqrt{3}tcosθ}}$，
∵當(dāng)點(diǎn)D從O₁，順時針轉(zhuǎn)動到O₂的過程中（D與O₁、O₂不重合），
cosθ從-1增加到1，cosα在（0，1）內(nèi)遞減，
∴異面直線AD與BC所成角一直變�。�
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的變化范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．