Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（-3，0）．

Answer 1

分析 分類討論，確定函數(shù)y=|x-3|+a在[0，+∞）上、函數(shù)y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，a≥0時(shí)，
x＜0，y=2x³-ax²-1，y′=6x²-2ax＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上至多一個(gè)零點(diǎn)；
x≥0，函數(shù)y=|x-3|+a無(wú)零點(diǎn)，
∴a≥0，不符合題意；
-3＜a＜0時(shí)，函數(shù)y=|x-3|+a在[0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上無(wú)零點(diǎn)，符合題意；
a=-3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|+a在[0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上有零點(diǎn)-1，不符合題意；
a＜-3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|+a在[0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍是（-3，0）．
故答案為（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．