Question

20．當(dāng)x∈（-∞，1]，不等式1+2^x+4^x•a＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（$-\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解，設(shè)2^x=t，則不等式1+2^x+4^x•a＞0恒成立轉(zhuǎn)化為1+t+at²＞0．

解答 解：由題意：設(shè)2^x=t，則不等式1+2^x+4^x•a＞0轉(zhuǎn)化為1+t+at²＞0恒成立，
∵x∈（-∞，1]，
∴0＜t≤2，
令函數(shù)f（t）=a•t²+t+1，
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（t）=t+1在（0，2]恒大于0．
當(dāng)a≠0時，要使函數(shù)f（t）在（0，2]大于0恒成立，
則：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：$a＞-\frac{3}{4}$，
∴實數(shù)a的取值范圍為（$-\frac{3}{4}$+∞）．
故答案為（$-\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 本題考察了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算和二次函數(shù)的恒成立問題．屬于基礎(chǔ)題．