Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，∠$ABC=\frac{π}{2}$，AB=BC=AA₁=4，D為BC的中點(diǎn)．
（1）若E為棱CC₁的中點(diǎn)，求證：DE⊥A₁C
（2）若E為棱CC₁上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)三棱錐C₁-ADE的體積為$\frac{8}{3}$時(shí)，求異面直線DE與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥A₁C．
（2）設(shè)C₁E=h，由（1）AB⊥平面B₁C₁BC，利用體積${V}_{{C}_{1}-ADB}$=${V}_{A-{C}_{1}DB}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h×2×4$=$\frac{8}{3}$，可得DE∥BC₁，從而證明∠AC₁B即為異面直線DE與AC₁所成的角，結(jié)合∠ABC₁=$\frac{π}{2}$，從而可求cos∠AC₁B=$\frac{B{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，即可計(jì)算求解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
∵AB=BC=AA₁=4，D為BC的中點(diǎn)，E為棱CC₁的中點(diǎn)，
∴D（0，2，0），E（0，4，2），A₁（4，0，4），
C（0，4，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-4，4，-4），
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+8-8=0，
∴DE⊥A₁C．
（2）設(shè)C₁E=h，由（1）A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，AB∥A₁B₁，
∴AB⊥平面B₁C₁BC…（7分）
∴${V}_{{C}_{1}-ADB}$=${V}_{A-{C}_{1}DB}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h×2×4$=$\frac{8}{3}$，…（8分）
解得：C₁E=h=2，…（9分）
∴DE∥BC₁，
∴∠AC₁B即為異面直線DE與AC₁所成的角…（10分）
又∵AB⊥平面B₁C₁BC，BC₁?平面B₁C₁BC，
∴∠ABC₁=$\frac{π}{2}$，…（11分）
∴cos∠AC₁B=$\frac{B{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴異面直線DE與AC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查異面直線及其所成的角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．