Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2，若P是該雙曲線右支上的一點(diǎn)，且滿足|PF₂|=|F₁F₂|，則△PF₁F₂面積的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義求得|PF₁|，作PF₁邊上的高AF₂，由A為中點(diǎn)，可知AF₁的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用勾股定理求得AF₂，運(yùn)用基本不等式可得△PF₁F₂的面積的最大值．

解答 解：由題意可得|PF₂|=|F₁F₂|=2，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
即為|PF₁|=2+2a，
過F₂作AF₂⊥PF₁，垂足為A，
由等腰三角形的性質(zhì)可得A為中點(diǎn)，
由勾股定理可得|AF₂|=$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$，
即有△PF₁F₂面積為$\frac{1}{2}$|AF₂|•|PF₁|=$\frac{1}{2}$（2+2a）•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$
=$\sqrt{（1+a）^{2}}$•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$≤$\frac{（1+a）^{2}+4-（1+a）^{2}}{2}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)（1+a）²=4-（1+a）²，即a=$\sqrt{2}$-1時(shí)，取得等號(hào)．
則△PF₁F₂面積的最大值是2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程的定義和方程及性質(zhì)，考查三角形面積的最值的求法，注意運(yùn)用勾股定理和基本不等式，屬于中檔題．