Question

3．當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，比較并證明n²與2ⁿ的大�。�

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=2時(shí)，n²=2ⁿ； 當(dāng)n=3時(shí)，n²＞2ⁿ；當(dāng)n=4時(shí)，n²=2ⁿ； 當(dāng)n=5時(shí)，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=6時(shí)，n²＜2ⁿ，…，猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，n²＜2ⁿ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=2時(shí)，n²=2ⁿ； 當(dāng)n=3時(shí)，n²＞2ⁿ；
當(dāng)n=4時(shí)，n²=2ⁿ； 當(dāng)n=5時(shí)，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=6時(shí)，n²＜2ⁿ，…，
猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，n²＜2ⁿ．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=5時(shí)，由上面的探求可知猜想成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)猜想成立，即2^k＞k²．
則2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2，
當(dāng)k≥5時(shí)（k-1）²-2＞0，∴2k²＞（k+1）²，從而2^k+1＞（k+1）²，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
綜合（1）（2），對(duì)n∈N^*猜想都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、猜想歸納能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．