Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$（a₁＞b₁＞0）與雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$（a₂＞b₂＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，$∠{F_1}M{F_2}={90^0}$，若橢圓的離心率${e_1}∈[\frac{3}{4}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$，則雙曲線C₂的離心率e₂的取值范圍為$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線的定義列出方程，通過(guò)勾股定理可得e₁與e₂的關(guān)系式，再由e₁ 的范圍求得e₂的取值范圍．

解答 解：由橢圓與雙曲線的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a₁，|MF₁|-|MF₂|=2a₂，
∴|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂．
∵∠F₁MF₂=90°，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，
即$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}+（{a}_{1}-{a}_{2}）^{2}=4{c}^{2}$，得${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}=2{c}^{2}$，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，則${e}_{2}=\frac{{e}_{1}}{\sqrt{2{{e}_{1}}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2-\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}}}$．
∵${e_1}∈[\frac{3}{4}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$，
∴e₂∈$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．
故答案為：$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．