Question

6．已知拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點F在雙曲線：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1的右準線上，拋物線與直線l：y=k（x-2）（k＞0）交于A，B兩點，AF，BF的延長線與拋物線交于C，D兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）若△AFB的面積等于3，
①求k的值；
②求直線CD的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線和雙曲線的關系進行求解即可．
（2）根據(jù)直線與拋物線的位置關系，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關系進行求解．

解答 解：（1）雙曲線：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右準線方程為：x=1
所以F（1，0），則拋物線的方程為：y²=4x…（4分）
（2）設$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得ky²-4y-8k=0△=16+32k²＞0，
${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}，{y_1}{y_2}=-8$
①${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}×1×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{1}{k^2}+2}=3$
解得k=2…（8分）
②y₁+y₂=2，y₁y₂=-8
設$C（\frac{y_3^2}{4}，{y_3}）$，則$\overrightarrow{FA}=（\frac{y_1^2}{4}-1，{y_1}），\overrightarrow{FC}=（\frac{y_3^2}{4}-1，{y_3}）$
因為A，F(xiàn)，C共線，所以$（\frac{y_1^2}{4}-1）{y_3}-{y_1}（\frac{y_3^2}{4}-1）=0$，
即$y_3^2+（\frac{4}{y_1}-{y_1}）{y_3}-4=0$
解得：y₃=y₁（舍）或${y_3}=-\frac{4}{y_1}$
所以$C（\frac{4}{y_1^2}，-\frac{4}{y_1}）$，同理$D（\frac{4}{y_2^2}，-\frac{4}{y_2}）$，
故${k_{CD}}=\frac{{-\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{y_1^2}-\frac{4}{y_2^2}}}$=$-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=4$…（12分）

點評 本題主要考查雙曲線和拋物線的性質(zhì)，利用直線和拋物線的位置關系轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關鍵．