Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線斜率是1，離心率是e，則$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率求出a=b，e，然后利用基本不等式進行求解即可．

解答 解：雙曲線的一條漸近線斜率是1，即$\frac{a}$=1，即b=a，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，
則$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$=$\frac{{a}^{2}+2}{a}$=a+$\frac{2}{a}$$≥2\sqrt{a•\frac{2}{a}}$=$2\sqrt{2}$，
當且僅當a=$\frac{2}{a}$，即a=$\sqrt{2}$時，取等號，
即$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$的最小值是$\sqrt{2}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應用，根據(jù)條件求出a=b，e的值，結合基本不等式是解決本題的關鍵．