Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）求棱A₁A的長；
（2）若線段AC與BD交于點E，求證：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，指出線段C₁P的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為 ，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=，
即S_ABCD×h-×S△A₁B₁C₁×h=，
即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
∴A₁A的長為4．
（2）取A₁C₁的中點F，連接D₁F
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁∥DD₁，且AA₁=DD₁，DD₁∥CC₁，DD₁=CC₁，E是AC的中點．
∴AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，又F是A₁C₁的中點，E是AC的中點，
∴AA₁∥EF，且AA₁=EF，
∴DD₁∥EF，且DD₁=EF，
∴四邊形EFD₁D為平行四邊形
∴D₁F∥DE，且D₁F=DE，
∴D₁F∥EB，且D₁F=EB
∴四邊形D₁FBE為平行四邊形，
∴D₁E∥BF
∵BF?平面A₁C₁B，D₁E?平面A₁C₁B，
∴D₁E∥平面A₁C₁B
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過Q作QP∥CB交BC₁于點P，則A₁P⊥C₁D．
因為A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．
∵Rt△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴，∴C₁Q=1
∵△C₁PQ∽△C₁BC，
∴，
即，
∴．
∴在線段BC₁上存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，且線段C₁P的長為．
分析：（1）設A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為 ，利用等體積法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，進行求解．
（2）取A₁C₁的中點F，連接D₁F，要證D₁E∥平面A₁C₁B，只需要證明D₁E∥BF，只需證明邊形D₁FBE為平行四邊形，利用條件可證；
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點P，推出A₁P⊥C₁D，證明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再根據△C₁PQ∽△C₁BC，可求線段C₁P的長．
點評：本題主要考查空間線面的位置關系，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力．