Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx，$g（x）=\frac{1}{2}ax+b$．
（1）若f（x）與g（x）在x=1處相切，試求g（x）的表達式；
（2）若$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$在[1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）證明不等式：$\frac{2n}{n+1}＜$$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）與g（x）在x=1處相切，可求g（x）的表達式；
（2）$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$在[1，+∞）上是減函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)小于等于0，在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，可求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當x≥2時，證明$2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}）＜\frac{1}{lnx}$，當x=2時，當x=3時，當x=4時，…，當x=n+1時，利用疊加法，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，∴$f'（x）=\frac{1}{x}$，∴$f'（1）=1=\frac{1}{2}a$，得：a=2．
又∵$g（1）=0=\frac{1}{2}a+b$，∴b=-1，
∴g（x）=x-1；
（2）$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$=$\frac{m（x-1）}{x+1}-lnx$在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴$ϕ'（x）=\frac{{-{x^2}+（2m-2）x-1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≤0$在[1，+∞）上恒成立．
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由$2m-2≤x+\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
∵$x+\frac{1}{x}∈[2，+∞）$，
∴2m-2≤2得m≤2；
證明：（3）由（1）可得：當x≥2時：$lnx＜x-1≤\frac{x}{2}（x-1）$，∴$lnx＜\frac{1}{2}x（x-1）$得：$\frac{2}{x（x-1）}＜\frac{1}{lnx}$，
∴$2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}）＜\frac{1}{lnx}$．
當x=2時：$2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）＜\frac{1}{ln2}$，
當x=3時：$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）＜\frac{1}{ln3}$，
當x=4時：$2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）＜\frac{1}{ln4}$，
…
當x=n+1時：$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{ln（n+1）}$，n∈N₊，n≥2，
上述不等式相加得：$2（1-\frac{1}{n+1}）＜$$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$，
即：$\frac{2n}{n+1}＜$$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式的運用，考查疊加法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題．