5．已知點(diǎn)P（4，2）是直線l被橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$所截得的線段的中點(diǎn)，
（1）求直線l的方程
（2）求直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)．

分析 （1）設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-4），交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．與橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-4），交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-4k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，化為：（1+4k2）x2+8k（2-4k）x+4（2-4k）2-36=0．（*）
∴x1+x2=$-\frac{8k（2-4k）}{1+4{k}^{2}}$=8，解得k=-$\frac{1}{2}$
∴直線l的方程為：x+2y-8=0．
（2）把k=-$\frac{1}{2}$代入方程（*）可得：x2-8x+14=0，
∴x1+x2=8，x1x2=14．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}×（{8}^{2}-4×14）}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．函數(shù)y=$\sqrt{-{x^2}+4x-3}$的單調(diào)增區(qū)間是（　�。�
A．（-∞，2]B．[1，2]C．[1，3]D．[2，3]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．在f（x）=sinωx+acosωx的圖象與直線y=$\frac{1}{2}\sqrt{{a^2}+1}$的交點(diǎn)中，三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為π，3π，7π，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知函數(shù)f（x）=cos$（{x-\frac{π}{2}}）$，g（x）=ex•f（x），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程；
（2）若對(duì)任意$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，方程g（x）=xf（x）的解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），一個(gè)頂點(diǎn)是（$\sqrt{3}$，0），則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（1，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=lnx，$g（x）=\frac{1}{2}ax+b$．
（1）若f（x）與g（x）在x=1處相切，試求g（x）的表達(dá)式；
（2）若$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$在[1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）證明不等式：$\frac{2n}{n+1}＜$$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．F1，F(xiàn)2分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），則|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=（　　）
A．2$\sqrt{5}$B．2C．6D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．若{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}為等差數(shù)列，a3=2，a7=1，則a11=（　�。�
A．0B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{2}{3}$D．2

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同步練習(xí)冊(cè)答案