【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性并求極值;
(Ⅱ)若點(diǎn)在函數(shù)上,當(dāng),且時(shí),證明: (是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞增,無(wú)極值,當(dāng)時(shí),令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值;(Ⅱ)由點(diǎn)在函數(shù)上,可得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可得,得恒成立,取, ,化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)由題,得.
當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞增,無(wú)極值;
當(dāng)時(shí),令,得.
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.
的極小值為,無(wú)極大值;
(Ⅱ),代入點(diǎn), .
.
.
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.
.
恒成立,
即恒成立.
,令.
.
,即,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2bcosC=acosC+ccosA.
(1)求角C的大;
(2)若b=2,c=,求a及△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的方程為(),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn), 的坐標(biāo)分別為, ,點(diǎn)在線段上,滿足,直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于, 兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)(),問是否存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求的值,若不存在,說出理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:恒成立;
(2)若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京時(shí)間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國(guó)棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量, 獲得本場(chǎng)比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計(jì) |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的平均值和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
td style="width:124.95pt; border-top-style:solid; border-top-width:0.75pt; border-right-style:solid; border-right-width:0.75pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle"> | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠今年前三個(gè)月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表如下:
為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量,以這三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系,模擬函數(shù)可選擇二次函數(shù)(為常數(shù)且),或函數(shù)(為常數(shù)).已知4月份的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件,請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C過點(diǎn)M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為: (為參數(shù))
(1)求圓和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn) 的極坐標(biāo)為,直線與圓相較于,求的值.
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