Question

設(shè)方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q，設(shè)函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2，則（　　）

• A、f（2）=f（0）＜f（3）
• B、f（0）＜f（2）＜f（3）
• C、f（3）＜f（0）=f（2）
• D、f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為函數(shù)y=2^x，y=log₂x與直線(xiàn)y=-x-2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而函數(shù)y=2^x，y=log₂x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，又直線(xiàn)y=-x-2與直線(xiàn)y=x垂直，且兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），可得p+q=-2，于是f（x）=x²+（p+q）x+pq+2=x²-2x+pq+2，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為函數(shù)y=2^x，y=log₂x與直線(xiàn)y=-x-2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
而函數(shù)y=2^x，y=log₂x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
又直線(xiàn)y=-x-2與直線(xiàn)y=x垂直，且兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴p+q=-2，
則f（x）=x²+（p+q）x+pq+2=x²-2x+pq+2，
∵該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴f（2）=f（0）＜f（3）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)其圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．