Question

19．已知函數(shù)f_k（x）=2^x-（k-1）2^-x（k∈Z），x∈R，g（x）=$\frac{{{f_2}（x）}}{{{f_0}（x）}}$．
（1）若f₂（x）=2，求x的值．
（2）判斷并證明函數(shù)y=g（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=f₀（2x）+2mf₂（x）在x∈[1，+∞）上有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出（2^x）²-2（2^x）-1=0，解出即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）條件等價于$-2m=\frac{{{{（{2^x}-{2^{-x}}）}^2}+2}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$在x∈[1，+∞）上有零點，即$-2m=\frac{{{t^2}+2}}{t}=t+\frac{2}{t}$在$t≥\frac{3}{2}$上有零點，令$h（t）=t+\frac{2}{t}，t∈[\frac{3}{2}，+∞）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：由題意得：${f_0}（x）={2^x}+{2^{-x}}，{f_2}（x）={2^x}-{2^{-x}}$
（1）由題意，${f_2}（x）={2^x}-{2^{-x}}=2$∴${2^x}-\frac{1}{2^x}=2$，
∴（2^x）²-2（2^x）-1=0
∴${2^x}=1+\sqrt{2}$，或${2^x}=1-\sqrt{2}＜0$（舍去）∴$x={log_2}（\sqrt{2}+1）$．---------（3分）
（2）$g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{{{2^x}+{2^{-x}}}}=\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=\frac{{（{4^x}+1）-2}}{{{4^x}+1}}=1+\frac{-2}{{{4^x}+1}}$，
∵當(dāng)x變大時，4^x+1變大，$\frac{-2}{{{4^x}+1}}$也變大，g（x）變大
∴g（x）在R上單調(diào)遞增．----------------------（1分）
證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=$1+\frac{-2}{{{4^{x_1}}+1}}-（1+\frac{-2}{{{4^{x_2}}+1}}）$=$\frac{2}{{{4^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{4^{x_1}}+1}}$
=$\frac{{2（{4^{x_1}}+1）-2（{4^{x_2}}+1）}}{{（{4^{x_2}}+1）（{4^{x_1}}+1）}}$=$\frac{{2（{4^{x_1}}-{4^{x_2}}）}}{{（{4^{x_2}}+1）（{4^{x_1}}+1）}}$--------------（3分）
∴x₁＜x₂
∴$0＜{4^{x_1}}＜{4^{x_2}}$-----------------（1分）
∴${4^{x_1}}-{4^{x_2}}＜0$，$（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)----------------（1分）
（3）y=f₀（2x）+2mf₂（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²+2+2m（2^x-2^-x）-------------（1分）
令t=2^x-2^-x，則t在R上單調(diào)遞增．
∵x∈[1，+∞），∴$t≥\frac{3}{2}$
條件等價于$-2m=\frac{{{{（{2^x}-{2^{-x}}）}^2}+2}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$在x∈[1，+∞）上有零點，
即：$-2m=\frac{{{t^2}+2}}{t}=t+\frac{2}{t}$在$t≥\frac{3}{2}$上有零點--------------（2分）
令$h（t）=t+\frac{2}{t}，t∈[\frac{3}{2}，+∞）$任取$\frac{3}{2}≤{t_1}＜{t_2}$，
則$h（{t_1}）-h（{t_2}）={t_1}+\frac{2}{t_1}-（{t_2}+\frac{2}{t_2}）=\frac{{（{t_1}-{t_2}）（{t_1}{t_2}-2）}}{{{t_1}{t_2}}}$
∵$\frac{3}{2}≤{t_1}＜{t_2}$∴${t_1}-{t_2}＜0，{t_1}{t_2}＞\frac{9}{4}＞2$∴h（t₁）-h（t₂）＜0∴h（t₁）＜h（t₂）
∴h（t）在$[\frac{3}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增---------------------（3分）
∴當(dāng)$t≥\frac{3}{2}$時，$h（t）≥\frac{17}{6}$，即$-2m≥\frac{17}{6}$
所以，$m≤-\frac{17}{12}$-------------------（1分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的定義，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．