Question

18．已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=xyz，且不等式$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$≤λ恒成立，求λ的范圍．

Answer 1

分析 由條件，結(jié)合二元均值不等式及柯西不等式，求得$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$的最大值，由恒成立思想即可得到所求范圍．

解答 解：由正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=xyz，
運(yùn)用二元均值不等式及柯西不等式，得　
$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$≤$\frac{1}{2\sqrt{xy}}$+$\frac{1}{2\sqrt{yz}}$+$\frac{1}{2\sqrt{zx}}$
=$\frac{1}{2}$（1×$\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}$+1×$\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}$+1×$\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}$）
≤$\frac{1}{2}$[（1²+1²+1²）（$\frac{z}{x+y+z}$+$\frac{x}{x+y+z}$+$\frac{y}{x+y+z}$）]${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=$\sqrt{3}$，取得等號(hào)．
由恒成立思想可得λ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故參數(shù)λ的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用二元均值不等式及柯西不等式，注意變形和化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．