Question

7．已知x，y＞0，求證：$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}$≥$\sqrt{xy}$．

Answer 1

分析 由（x-y）²≥0，可得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$，再由均值不等式，結(jié)合不等式的傳遞性即可得證．

解答 證明：因為x，y＞0，且（x-y）²≥0，
（當且僅當x=y時“=”成立）
即有2（x²+y²）-（x+y）²≥0，
所以$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$，①
又$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$，（當且僅當x=y時“=”成立）②
由①②得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\sqrt{xy}$（當且僅當x=y時“=”成立）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用均值不等式和不等式的傳遞性，考查推理能力，屬于中檔題．