Question

如圖，四棱錐P--ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)．且PD=

2

AB
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）求AE與平面PDB所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AEC內(nèi)一直線與平面PDB垂直，而根據(jù)題意可得AC⊥平面PDB；
（2）連接AC，BD，交于O，連接OE，則∠AEO為AE與平面PDB所成的角，求出AO，AE，即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）解：連接AC，BD，交于O，連接OE，則
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，
∴AC⊥BD
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB
∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角，
設(shè)AB=a，則PD=

2

a，∴OE=

2

2

a
∵AO=

2

2

a，∴AE=a，
∴sin∠AEO=

AO

AE

=

2

2

，
∴∠AEO=45°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．