Question

13．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（2，3），且右焦點為圓C：（x-2）²+y²=2的圓心．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設P是橢圓E上在y軸左側的一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，且兩切線的斜率之積為$\frac{1}{2}$，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓右焦點為圓C：（x-2）²+y²=2的圓心，可得c=2，又$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（2）設P（x₀，y₀）（x₀＜0），則經過點P的切線斜率存在，設切線方程為：y-y₀=k（x-₀）．可得$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，化為：$（{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2）$k²+2y₀（2-x₀）k+${y}_{0}^{2}$-2=0．設切線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．可得k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}$，x₀＜0．與$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1聯立，解得P．進而得出．

解答 解：（1）∵橢圓右焦點為圓C：（x-2）²+y²=2的圓心（2，0），∴c=2，
又$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯立解得a=4，b=2$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）設P（x₀，y₀）（x₀＜0），則經過點P的切線斜率存在，設切線方程為：y-y₀=k（x-₀），即kx-y+y₀-kx₀=0．
則$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，化為：$（{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2）$k²+2y₀（2-x₀）k+${y}_{0}^{2}$-2=0．（*）
設切線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
則k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}$，化為：$2{y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-4x₀+6，x₀＜0．
與$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1聯立，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2}\\{{y}_{0}=±3}\end{array}\right.$，
∴P（-2，±3）．
由對稱性不妨取P（-2，3），F（2，0）．
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{|FP{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{23}$．
在RT△PFB中，cos∠APF=$\frac{\sqrt{23}}{5}$，sin∠APB=$\frac{\sqrt{2}}{5}$．
∴sin∠APB=2×$\frac{\sqrt{23}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{5}$=$\frac{2\sqrt{46}}{25}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}|PA{|}^{2}$sin∠APB=$\frac{1}{2}×23×\frac{2\sqrt{46}}{25}$=$\frac{23\sqrt{46}}{25}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的性質、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．