Question

設(shè)p：a²-a＜0．q：當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x²-x-4a≤0恒成立．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的范圍．

Answer 1

分析：可在p真的基礎(chǔ)上求得a的范圍，同理在q真的基礎(chǔ)上求得a的范圍，再由“p∨q為真命題，p∧q為假命題”可得p與q有且只有一個(gè)為真命題，分類討論即可．

解答：解：對(duì)于p：∵a²-a＜0
∴0＜a＜1．
設(shè)f（x）=x²-x-4a，x∈[1，2]．
其對(duì)稱軸x=

1

2

，故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=2-4a．
由x∈[1，2]時(shí)，x²-x-4a≤0恒成立，得2-4a≤0，即a≥

1

2

．
因?yàn)閜∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p與q有且只有一個(gè)為真命題．
如果p真且q假，則0＜a＜

1

2

；
如果p假且q真，則a≥1．
所以a的取值范圍為（0，

1

2

）∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查復(fù)合命題的真假的判斷，難點(diǎn)在于對(duì)“x∈[1，2]時(shí)，x²-x-4a≤0恒成立”的理解與應(yīng)用，突出考查化歸思想與分類討論思想，屬于中檔題．