Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1-x

（a＞0）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=

2

x2

+b（b∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時，關(guān)于x的不等式f（1-x）≤lgg（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可求得a的值，并得到f（x）的定義域；
（2）求出f（1-x）=lg

2-x

x

，所以由f（1-x）≤lgg（x）及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到

2-x

x

≤

2

x2

+b，所以b≥-

2

x2

+

2

x

-1，根據(jù)原不等式有解，所以求-

2

x2

+

2

x

-1最小值即可．設(shè)h（x）=-

2

x2

+

2

x

-1，通過求導(dǎo)判斷h（x）在[

1

3

，

1

2

]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出h（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵a＞0，∴解

1+ax

1-x

＞0得，-

1

a

＜x＜1；
∵f（x）為奇函數(shù)；
∴定義域關(guān)于原點對稱，所以a=1；
∴f（x）的定義域為（-1，1）；
（2）f（x）=lg

1+x

1-x

，f（1-x）=lg

2-x

x

；
∴lg

2-x

x

≤lg(

2

x2

+b)；
∴

2-x

x

≤

2

x2

+b；
∴b≥-

2

x2

+

2

x

-1，設(shè)h（x）=-

2

x2

+

2

x

-1；
∴h′(x)=

4

x3

-

2

x2

=

4-2x

x3

；
∵x∈[

1

3

，

1

2

]；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞增；
∴h(

1

3

)=-13是h（x）在[

1

3

，

1

2

]上的最小值；
∴b≥-13；
∴b的取值范圍為[-13，+∞）．

點評：考查奇函數(shù)的定義域的特點，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意正確求導(dǎo)．