Question

中華人民共和國(guó)關(guān)于《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》（HJ633-2012）中，關(guān)于空氣質(zhì)量指數(shù)劃分如下表所示：

AQI	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
級(jí)別	Ⅰ級(jí)	Ⅱ級(jí)	Ⅲ級(jí)	Ⅳ級(jí)	Ⅴ級(jí)	Ⅵ級(jí)
類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染

某市為了監(jiān)測(cè)該市的空氣質(zhì)量指數(shù)，抽取一年中n天的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下頻率分布表及頻率分布直方圖：

分組	頻數(shù)	頻率
[0，50）	x	0.06
[50，100）	10	0.2
{100，150）	20	y
[150，200）	15	0.3
[200，250）	2	0.04
合計(jì)	n	1

（Ⅰ）求n、x、y和p的值；
（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該市一年中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為多少？
（Ⅲ）該市政府計(jì)劃通過(guò)對(duì)環(huán)境進(jìn)行綜合治理，使得今后Ⅲ的空氣質(zhì)量指數(shù)比上一年降低5%，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少年后該市的空氣質(zhì)量可以達(dá)到優(yōu)良水平？
（參考數(shù)據(jù)：0.95⁴≈0.815，0.95⁵≈0.774）

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表，求出樣本容量n以及x、y與p的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；
（Ⅲ）根據(jù)題意，列出不等式128×（1-0.05）^x≤100，求出x的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表，得；
數(shù)據(jù)在[50，100）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.2，
∴樣本容量是n=

10

0.2

=50，
頻數(shù)x=50×0.06=3，
頻率y=

20

50

=0.4，
在頻率分布直方圖中，p是最高矩形的高度，
∴p=

0.4

50

=0.008；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，得；
空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)是

.

x

=25×0.06+75×0.2+125×0.4+175×0.3+225×0.04=128，
估計(jì)該市一年中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為128；
（Ⅲ）根據(jù)題意，令128×（1-0.05）^x≤100，
即0.95^x≤0.781；
∵0.95⁵≈0.774＜0.781，
∴x≥5；
即至少經(jīng)過(guò)5年后該市的空氣質(zhì)量可以達(dá)到優(yōu)良水平．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．