Question

18．已知（2x²+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)和為a_n，各項二項式系數(shù)和為b_n．
（1）若上述展開式中含有常數(shù)項，求正整數(shù)n的最小值；
（2）判斷2a_n與（n+2）b_n（n∈N₊）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n =3ⁿ，b_n =2ⁿ，再利用通項公式結(jié)合題意可得2n=$\frac{5r}{2}$，r=0，1，2，…，n有解，由此求得正整數(shù)n的最小值．
（2）根據(jù)函數(shù)2a_n的增長速度快于（n+2）b_n ，再結(jié)合當(dāng)n=1時，2a_n=（n+2）b_n =6，故當(dāng)n≥2時，2a_n ＞（n+2）b_n ，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=1，可得（2x²+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)和為a_n =3ⁿ，各項二項式系數(shù)和為b_n =2ⁿ，
（2x²+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^n-r•${x}^{2n-\frac{5r}{2}}$，
由題意可得，2n=$\frac{5r}{2}$，r=0，1，2，…，n有解，∴n的最小值為5．
（2）∵2a_n=2•3ⁿ，（n+2）b_n =（n+2）•2ⁿ，（n∈N₊），顯然，這2個函數(shù)都是單調(diào)遞增函數(shù)，
且函數(shù)2a_n的增長速度快于（n+2）b_n ，
再結(jié)合當(dāng)n=1時，2a_n=（n+2）b_n =6，故當(dāng)n≥2時，2a_n ＞（n+2）b_n ．
綜上可得，2a_n≥（n+2）b_n ．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．