Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+4}$=1，令b_n=a_n²•a_n+1²，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若S_n＞$\frac{m}{16}$對任意n∈N^*恒成立，則整數(shù)m的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+4}$=1，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，利用等差數(shù)列的通項公式可得：${a}_{n}^{2}$，再利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+4}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，公差為4，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
∴${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$．
∴b_n=a_n²•a_n+1²=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{4n+1}）$≥$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{1}{5}$，
若S_n＞$\frac{m}{16}$對任意n∈N^*恒成立，∴$\frac{1}{5}$$＞\frac{m}{16}$，$m＜\frac{16}{5}$，
則整數(shù)m的最大值為3．
故選：C．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．