Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 當a=-1時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 討論f（x）在區(qū)間（0，e）上的單調(diào)情況；
（Ⅲ）試推斷方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有實數(shù)解．若有實數(shù)解，請求出它的解集．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，對函數(shù)f（x）=x+lnx求導數(shù)，研究出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，判斷出最大值，即可求出；
（II）由于函數(shù)f（x）=ax+lnx系數(shù)中帶有參數(shù)a，可先求導，對參數(shù)a的取值范圍進行討論，確定出區(qū)間（0，e）上的單調(diào)情況；
（III）由于函數(shù)的定義域是正實數(shù)集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可變?yōu)閨x-lnx|=，再分別研究方程兩邊對應函數(shù)的性質(zhì)，即可作出判斷．
解答：解：（Ⅰ） 當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+…（1分）
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)…（3分）
∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+，x∈（0，e），∈…（5分）
①若a≥，則f′（x）＞0，從而f（x）在（0，e）上增函數(shù)…（6分）
②若a＜，則由f′（x）＞0＞0，即0＜x＜
由f′（x）＜0＜0，即＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在上增函數(shù)，在為減函數(shù)…（8分）
綜合上面得：當a≥時，f（x）在（0，e）上增函數(shù)；當a＜時，f（x）在上增函數(shù)，在為減函數(shù)．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=…（9分）
由（Ⅰ）知當a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）
∴g（x）_max=g（e）=＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞…（13分）
∴方程|x-lnx|=即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x沒有實數(shù)解．…（14分）
點評：本題考查導數(shù)綜合運用，解題的關(guān)鍵是理解導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)對應，本題考查了靈活轉(zhuǎn)化的能力，計算能力，分類討論的思想，綜合性強，難度較高，是高考中考查能力的常用試題，題后應用心體會本題中所使用的轉(zhuǎn)化技巧及分類的標準．