Question

【題目】如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， ，已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)， 是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與直線(xiàn)平行， 與交于點(diǎn)，

（i）若，求直線(xiàn)的斜率；

（ii）求證： 是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】試題分析： 根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和，都在橢圓上列式求解即可得到橢圓的方程；

①設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出，根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解

②利用直線(xiàn)與平行，點(diǎn)在橢圓上知 ， ，由此可以求得是定值

解析：（1）由題設(shè)知， .由點(diǎn)在橢圓上，得.

解得，于是，又點(diǎn)在橢圓上，所以.

即，解得.因此，所求橢圓的方程是.

（2）由（1）知， ，又直線(xiàn)與平行，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為.設(shè)， ， ， ，由得，解得.

故 ①

同理， ②

（i）由①②得 解得.

因?yàn)?/span>，故，所以直線(xiàn)的斜率為.

（ii）因?yàn)橹本�(xiàn)與平行，所以，于是，

故.由點(diǎn)在橢圓上知.

從而 .同理 ，因此 .

又由①②知， .

所以.因此是定值.