Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=2-

a

x

（a為實數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)ϕ（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=1.5g（x）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間[0.5，2]上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若u（x）=f（x）+x²+2mx，當(dāng)y=u（x）存在兩個極值時，求m的取值范圍，并證明兩個極值之和小于
T_n=

(2n-1)•3n-1

2

，n∈N*．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用a=1，求出函數(shù)ϕ（x）=f（x）-g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=1.5g（x）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間[0.5，2]上有解，轉(zhuǎn)化為a=2x-

2

3

x3在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）μ（x）=f（x）+x²+2mx=lnx+x²+2mx，求出導(dǎo)數(shù)，利用兩個極值點，列出不等式組，設(shè)函數(shù)y=μ（x）的極值點為x₁，x₂，y=μ（x）的極值為μ（x₁），μ（x₂），通過韋達(dá)定理以及μ（x₁）+μ（x₂）化簡即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，ϕ(x)=f(x)-g(x)=lnx+

1

x

-2，則ϕ′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵在區(qū)間（0，1]上，φ′（x）≤0，在區(qū)間[1，+∞）上，φ′（x）≥0
∴φ（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴φ（x）的最小值為ϕ（1）=0．…（4分）
（Ⅱ）∵方程e2f(x)=

3

2

g(x)在區(qū)間[

1

2

，2]上有解
即e2lnx=3-

3a

2x

在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，
即a=2x-

2

3

x3在區(qū)間[

1

2

，2]上有解…（6分）
令h(x)=2x-

2

3

x3，x∈[

1

2

，2]，
∴h′（x）=2-2x²=2（1-x）（1+x）
∵在區(qū)間[

1

2

，1]上，h′（x）≥0，在區(qū)間[1，2]上，h′（x）≤0
∴h（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
又h(

1

2

)=

11

12

，h(1)=

4

3

，h(2)=-

4

3

∴h（2）≤h（x）≤h（1）
即-

4

3

≤h(x)≤

4

3

∴a∈[-

4

3

，

4

3

]…（9分）
（Ⅲ）∵μ（x）=f（x）+x²+2mx=lnx+x²+2mx
∴μ′(x)=

1

x

+2x+2m=

2x2+2mx+1

x

，
∴當(dāng)

△=4m2-8＞0 -m＞0

即m∈(-∞，-

2

)時，y=μ（x）存在極值…（11分）
設(shè)函數(shù)y=μ（x）的極值點為x₁，x₂則y=μ（x）的極值為μ（x₁），μ（x₂）
則x1+x2=-m，x 1x2=

1

2

，
∴μ(x1)+μ(x2)=lnx1+

x

2 1

+2mx1+lnx2+

x

2 2

+2mx2=lnx1x2+(x1+x2)2-2x1x2+2m(x1+x2)
=-ln2+m²-1-2m²
=-m²-1-ln2
＜-3-ln2…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值單調(diào)性，最值，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．