Question

17．定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，M是C上任意一點，O為坐標原點，設向量$\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，f（{x_1}）}），\overrightarrow{OB}=（{{x_2}，f（{x_2}）}），\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，且實數(shù)λ滿足x=λx₁+（1-λ）x₂，此時向量$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（{1-λ}）\overrightarrow{OB}$．若$|{\overrightarrow{MN}}$|≤K恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標準K下線性近似，其中K是一個確定的實數(shù)．已知函數(shù)f（x）=x²-2x在區(qū)間[1，2]上可在標準K下線性近似，那么K的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 y_N-y_M=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]=$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$，由題意可得：$|\overrightarrow{MN}|$=|y_N-y_M|=|$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$|≤|λ（1-λ）|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：y_N-y_M=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]
=$λ（{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）$+$（1-λ）（{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}）$-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]
=$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$，
|x₁-x₂|≤|1-2|=1，
由題意可得：$|\overrightarrow{MN}|$=|y_N-y_M|=|$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$|≤|λ（1-λ）|≤$（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
由于$|{\overrightarrow{MN}}$|≤K恒成立，
∴$K≥\frac{1}{4}$，
∴K的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算性質(zhì)、模的計算公式、二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．