Question

9．有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)）：
①兩直角邊分別為3、4的直角三角形ABC；
②腰長為4、頂角為36°的等腰三角形JKL；
③腰長為5、頂角為120°的等腰三角形OMN；
④兩對角線和一邊長都是4且另三邊長相等的凸四邊形PQRS；
⑤長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形WXYZ．
它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個(gè)內(nèi)、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)．
我們規(guī)定：如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”．
（1）證明：第④種塑料板“可操作”；
（2）求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，不妨設(shè)QS=PR=QR=4，PQ=PS=RS=x，分別過點(diǎn)S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，由相似三角形的性質(zhì)能證明第④種塑料板“可操作”．
（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底邊上的高M(jìn)G，推導(dǎo)出第①②④三種塑料板“可操作”；而第③⑤兩種塑料板“不可操作”．由此能求出從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率．

解答 證明：（1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，
不妨設(shè)QS=PR=QR=4，PQ=PS=RS=x，
分別過點(diǎn)S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，
則由△QRF∽△RSI得到$\frac{RI}{RF}=\frac{RS}{QR}$，
即$\frac{{\frac{4-x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}=\frac{x}{4}$，解得$x=2\sqrt{5}-2$．
∴$SI=\sqrt{R{S^2}-I{R^2}}=\sqrt{{x^2}-{{（\frac{4-x}{2}）}^2}}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$＜2.4，
∴第④種塑料板“可操作”．
解：（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、
等腰三角形OMN底邊上的高M(jìn)G，
由已知得AH=2.4，MG=2.5．
又由（1）可得等腰梯形PQRS的銳角底角是72°，△JKL≌△PQR，∴KE=SI．
而黃金矩形WXYZ的寬等于$4×\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=2\sqrt{5}-2$＞2.4，
∴第①②④三種塑料板“可操作”；而第③⑤兩種塑料板“不可操作”．
∴從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率$P=\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈的證明，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法及相似三角形的性質(zhì)的合理運(yùn)用．