Question

9．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+t\\ y=1-2t\end{array}$（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=1．
（Ⅰ）求直線l與圓C的公共點的個數(shù)；
（Ⅱ）在平面直角坐標系中，圓C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}$得到曲線Ω，設(shè)M（x，y）為曲線Ω上任意一點，求4x²+xy+y²的最大值，并求出此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由代入法可得直線l的普通方程；由ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$可得曲線C的直角坐標方程，再由圓心到直線的距離公式判斷d與r的關(guān)系，即可得到公共點的個數(shù)；
（Ⅱ）由題意可得曲線Ω的方程：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，代入4x²+xy+y²，運用同角的平方關(guān)系和二倍角正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到所求最大值及M的坐標．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+t\\ y=1-2t\end{array}$（t為參數(shù)方程），
即為直線l的方程為$2x+y=2\sqrt{2}+1$，由圓C的極坐標方程為ρ=1，
可得圓C的方程是x²+y²=1．
圓心（0，0）到直線l的距離為$d=\frac{{|{0-0-2\sqrt{2}-1}|}}{{\sqrt{4+1}}}＞1$，
所以直線l與圓的公共點個數(shù)為0個．
（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），
所以曲線Ω的方程：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，
則4x²+xy+y²=4cos²θ+cosθ•2sinθ+4sin²θ=4+sin2θ，
所以$θ=\frac{π}{4}或θ=\frac{5π}{4}$時，4x²+xy+y²取得最大值5，
此時M的坐標為$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}）或（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\sqrt{2}）$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，同時考查參數(shù)方程的運用和三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的值域，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．