Question

6．已知△ABC的三個頂點的坐標為A（0，1），B（1，0），C（0，-2），O為坐標原點，動點M滿足|$\overrightarrow{CM}$|=1，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\sqrt{7}+1$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{7}$-1

Answer 1

分析 設(shè)點M的坐標是（x，y），由兩點之間的距離公式化簡|$\overrightarrow{CM}$|=1，判斷出動點M的軌跡，由向量的坐標運算求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$，表示出|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|并判斷幾何意義，轉(zhuǎn)化為圓外一點與圓上點的距離最值問題，即可求出答案．

解答 解：設(shè)點M的坐標是（x，y），
∵C（0，-2），且|$\overrightarrow{CM}$|=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}=1$，則x²+（y+2）²=1，
即動點M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓，
∵A（0，1），B（1，0），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$=（x+1，y+1），
則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$，幾何意義表示：
點M（x，y）與點A（-1，-1）之間的距離，即圓C上的點與點A（-1，-1）的距離，
∵點A（-1，-1）在圓C外部，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是|AC|+1=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-2+1）^{2}}$+1=$\sqrt{2}+1$，
故選A．

點評 本題考查向量的坐標運算、向量的模，動點的軌跡以及軌跡方程，兩點之間的距離公式，以及圓外一點與圓上點的距離最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想．