Question

11．已知f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，求f（θ）的值；
（Ⅱ）當(dāng)$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）切化弦，利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造出f（θ），即可求解．
（Ⅱ）當(dāng)$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx}×$sin²x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=sin²x+sinxcosx+sin2（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+cos2x
═$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）∴f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∵sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴1+sin2θ=$\frac{9}{5}$，
即sin2θ=$\frac{4}{5}$．
∴cos2θ=$-\frac{3}{5}$．
∴f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ+cos2θ）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$
（Ⅱ）當(dāng)$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$時(shí)，
可得：$\frac{5π}{12}≤$2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+\frac{1}{2}$=0．
故得當(dāng)$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．