Question

16．定義方程f（x）=f'（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x³-1的“新駐點(diǎn)”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． a＞c＞b
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 通過(guò)構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-f'（x），f（x）的“新駐點(diǎn)”就是函數(shù)F（x）的零點(diǎn)，再依次確定a，b，c的范圍得答案．

解答 解：對(duì)于g（x）=x，構(gòu)造F（x）=g（x）-g'（x）=x-1，依題意，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)就是函數(shù)g（x）的“新駐點(diǎn)”，得a=1；
對(duì)于h（x）=ln（x+1），構(gòu)造G（x）=h（x）-h'（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
G（x）單調(diào)遞增，且G（0）=-1＜0，G（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，∴G（x）的零點(diǎn)b∈（0，1）；
對(duì)于t（x）=x³-1，構(gòu)造H（x）=t（x）-t'（x）=x³-3x²-1，
H′（x）=3x²-6x=3x（x-2），當(dāng)x∈（-∞，0）∪（2，+∞）上，H′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）上，H′（x）＜0．
∴H（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；減區(qū)間為（0，2）．
∵H（0）=-1＜0，∴H（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，
∵H（3）=-1＜0，H（4）=15＞0，∴H（x）的零點(diǎn)c∈（3，4）．
綜上可得，c＞a＞b，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題．