Question

17．已知隨機(jī)變量ξ的取值為不大于n的非負(fù)整數(shù)值，它的分布列為：

ξ	0	1	2	…	n
P	p0	p1	p2	…	pn

其中p_i（i=0，1，2，…，n）滿足：p_i∈[0，1]，且p₀+p₁+p₂+…+p_n=1．
定義由ξ生成的函數(shù)f（x）=p₀+p₁x+p₂x²+…+p_nxⁿ，令g（x）=f′（x）．
（I）若由ξ生成的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x³，求P（ξ=2）的值；
（II）求證：隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=g（1），ξ的方差D（ξ）=g′（1）+g（1）-（g（1））²；（D（ξ）=$\sum_{i=0}^{n}$（i-E（ξ））²•p_i）
（Ⅲ）現(xiàn)投擲一枚骰子兩次，隨機(jī)變量ξ表示兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，此時(shí)由ξ生成的函數(shù)記為h（x），求h（2）的值．

Answer 1

分析 （ I）由ξ生成的函數(shù)得出P（ξ=2）的值；
（II）根據(jù)均值與方差的定義，結(jié)合題意，計(jì)算D（ξ）的值；
（ III）方法1，利用隨機(jī)變量ξ的生成函數(shù)，計(jì)算h（2）的值．
方法2：計(jì)算ξ的概率分布，寫出h（x）解析式，計(jì)算h（2）的值．

解答 解：（ I）由ξ生成的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x³，
∴P（ξ=2）=p₂=$\frac{1}{2}$；   …（2分）
（ II）由于E（ξ）=0•p₀+1•p₁+2•p₂+…+n•p_n，
g（x）=f′（x）=p₁+2p₂x+…+np_nx^n-1，
所以E（ξ）=g（1）．     …（4分）
由ξ的方差定義可知
D（ξ）=$\sum_{i=0}^{n}$（i-E（ξ））²•p_i=$\sum_{i=0}^{n}$i²•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$E²（ξ）•p_i-2E（ξ）$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$E²（ξ）•p_i-2E（ξ）$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+E（ξ）+E²（ξ）-2E²（ξ）
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+E（ξ）-E²（ξ）
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+g（1）-g²（1）
由于g（x）=p₁+2p₂x+…+np_nx^n-1，所以有
g′（x）=2p₂+3×2p₃•x+…+n（n-1）p_n•x^n-2，這樣
g′（1）=2p₂+3×2p₃+…+n（n-1）p_n=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）p_i，所以有
D（ξ）=g′（1）+g（1）-（g（1））²．           …（6分）
（ III）方法1．投擲一枚骰子一次，隨機(jī)變量ξ的生成的函數(shù)為：
f（x）=$\frac{1}{6}$（x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶）．                  …（7分）
投擲骰子兩次次對應(yīng)的生成函數(shù)為：h（x）=${[\frac{1}{6}（x{+x}^{2}+…{+x}^{6}）]}^{2}$． …（8分）
所以h（2）=21²=441．         …（9分）
方法2：ξ的取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．    …（7分）
則ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

…（8分）
則h（x）=$\frac{1}{36}$x²+$\frac{2}{36}$x³+$\frac{3}{36}$x⁴+$\frac{4}{36}$x⁵+$\frac{5}{36}$x⁶+$\frac{6}{36}$x⁷+$\frac{5}{36}$x⁸+$\frac{4}{36}$x⁹+$\frac{3}{36}$x¹⁰+$\frac{2}{36}$x¹¹+$\frac{1}{36}$x¹²．
則h（2）=$\frac{4}{36}$×（1+4+12+32+80+192+320+512+768+1024+1024）=441．      …（9分）

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，也考查了均值與方差的計(jì)算問題，是難題．