Question

5．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$．
（1）對任意實數(shù)x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，配方可得最小值，由題意可得m≤f′（x）的最小值，即可得到m的最大值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及極值，由題意可得極大值小于0或極小值大于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-9x+6
=3（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{4}$≥-$\frac{3}{4}$，
對任意實數(shù)x，f'（x）≥m恒成立，
可得m≤f′（x）的最小值，
即有m≤-$\frac{3}{4}$，可得m的最大值為-$\frac{3}{4}$；
（2）函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-9x+6
=3（x-1）（x-2），
f'（x）＞0⇒x＞2或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上單增，在（1，2）上單減，
∴$f{（x）_{極大}}=f（1）=\frac{5}{2}-a，f{（x）_{極小}}=f（2）=2-a$，
函數(shù)f（x）恰有一個零點，可得$\frac{5}{2}$-a＜0或2-a＞0，
解得a＜2或a＞$\frac{5}{2}$．
可得a的取值范圍是（-∞，2）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)和極值，考查不等式恒成立問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點問題解法，注意運(yùn)用函數(shù)的極值符號，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．