Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（1）證明：BE⊥DC；
（2）求直線BE與平面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意：PA⊥底面ABCD，底面是一個直角梯形，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依次計算：B，C，D，P，的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運算法則，證明BE⊥DC；
（2）設(shè)n=（x，y，z）為平面PBD的法向量．利用法向量與平面內(nèi)任何一條直線都垂直的坐標(biāo)關(guān)系，解出法向量坐標(biāo)，向量之間的夾角公式，即可解出直線與平面所成的角．

解答 解：（1）證明：以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），依題意，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．E（1，1，1）．
那么：$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0）
$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DC}$=0×2+1×0+1×0=0
所以，BE⊥DC．
得證．
（2）設(shè)n=（x，y，z）為平面PBD的法向量．由（1）各點的坐標(biāo)可知，
那么：$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1）
∵法向量余平面內(nèi)任何一條向量都垂直：
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{BD}=0}\\{n•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，不妨令y=1，則x=2，z=1
解得其中一條法向量n=（2，1，1）．
設(shè)直線BE與平面PBD所成角為θ，
sinθ=|cos＜n，$\overrightarrow{BE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•n}{|\overrightarrow{BE}|•|n|}$|=$\frac{2}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴cosθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以，直線BE與平面PBD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查了兩條異面直線垂直的證明，常用到平移相交，求角是直角，用到面面垂直，直線垂直兩平面的交線來證明線線垂直．還有就是向量法，適合于空間各頂點能很好計算的立體圖形．
線面角，當(dāng)我們遇到線與平面很難尋找或者構(gòu)造輔助線，也不好證明的時，可以考慮用向量法．屬于中檔題．