Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），圓Q：（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2的圓心Q在橢圓C上，點P（0， ）到橢圓C的右焦點的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P作互相垂直的兩條直線l1 ， l2 ， 且l1交橢圓C于A，B兩點，直線l2交圓Q于C，D兩點，且M為CD的中點，求△MAB的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓Q：（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2的圓心為（2， ），

代入橢圓方程可得 =1，

由點P（0， ）到橢圓C的右焦點的距離為 ，即有 = ，

解得c=2，即a2﹣b2=4，

解得a=2 ，b=2，

即有橢圓的方程為 =1

（2）解：當直線l1：y= ，代入圓的方程可得x=2± ，

可得M的坐標為（2± ， ），又|AB|=4，

可得△MAB的面積為 ×2×4=4；

設直線y=kx+ ，代入圓Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，

可得中點M（ ， ），

|MP|= = ，

設直線AB的方程為y=﹣ x+ ，代入橢圓方程，可得：

（2+k2）x2﹣4 kx﹣4k2=0，

設（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2= ，x1x2= ，

則|AB|=

= ，

可得△MAB的面積為S=

=4 ，

設t=4+k2（5＞t＞4），可得 = = ＜ =1，

可得S＜4，且S＞0，

綜上可得，△MAB的面積的取值范圍是（0，4]

【解析】（1）求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運用兩點的距離公式，解方程可得a，b的值，進而得到橢圓方程；（2）討論兩直線的斜率不存在和為0，求得三角形MAB的面積為4；設直線y=kx+ ，代入圓Q的方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標，求得MP的長，再由直線AB的方程為y=﹣ x+ ，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積公式，化簡整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍．