Question

2．已知（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等．
（1）求n的值；
（2）求展開式中所有二項式系數(shù)的和；
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 寫出二項式（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ展開式的通項公式，（1）根據(jù)展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等，列出方程求出n的值；
（2）利用展開式中所有二項式系數(shù)的和為2ⁿ，即可求出結(jié)果；
（3）根據(jù)二項式展開式的通項公式，求出展開式中所有的有理項．

解答 解：二項式（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•x^n-r•${（\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{n-\frac{3}{2}r}$，（r=0，1，2，…，n）；
（1）根據(jù)展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等，得
${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$，即$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{4}$•$\frac{n（n-1）}{2}$，
解得n=5；
（2）展開式中所有二項式系數(shù)的和為
${C}_{5}^{0}$+${C}_{5}^{1}$+${C}_{5}^{2}$+…+${C}_{5}^{5}$=2⁵=32；
（3）二項式展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{5-\frac{3}{2}r}$，（r=0，1，2，…，5）；
當(dāng)r=0，2，4時，對應(yīng)項是有理項，
所以展開式中所有的有理項為
T₁=${C}_{5}^{0}$•${（\frac{1}{2}）}^{0}$•x⁵=x⁵，
T₃=${C}_{5}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•x^5-3=$\frac{5}{2}$x²，
T₅=${C}_{5}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$x^5-6=$\frac{5}{16x}$．

點(diǎn)評 本題考查了二項式展開式中二項式系數(shù)和的應(yīng)用問題，也考查了利用通項公式求特定項的應(yīng)用問題，是綜合性題目．