Question

12．如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2a的菱形，側(cè)面ADEF為矩形，且AF=$\frac{1}{2}$AD，∠ABC=60°，AF⊥平面ABCD，點G和H分別是BC、BF上的點．
（1）若$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BH}{BF}$，求證：BD⊥GH；
（2）若BG=2GC，在線段BF上是否存在一點H，使直線GH與平面ACE所成角為30°，若存在，求出點H的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，BD⊥AF可得BD⊥平面FAC，于是BD⊥FC，由$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BH}{BF}$可得HG∥FC，從而得BD⊥GH；
（2）設(shè)AC，BD交于點O，過O作Oz∥AF，則Oz⊥平面ABCD，以O(shè)為原點建立坐標系，設(shè)$\overrightarrow{BH}$=λ$\overrightarrow{BF}$，求出$\overrightarrow{HG}$和平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{HG}$＞|=$\frac{1}{2}$，根據(jù)方程解得情況得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AF⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AF⊥BD，又AC?平面FAC，AF?平面FAC，AC∩AF=A，
∴BD⊥平面FAC，∵FC?平面FAC，
∴BD⊥FC．
∵$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BH}{BF}$，∴HG∥FC，
∴BG⊥HG．
（2）設(shè)AC，BD交于點O，過O作Oz∥AF，則Oz⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點，以O(shè)B，OC，Oz為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，AB=2a，∠ABC=60°，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$a，OA=OC=a，∴DE=AF=$\frac{1}{2}AD$=a，
∴A（0，-a，0），C（0，a，0），E（-$\sqrt{3}$a，0，a），B（$\sqrt{3}$a，0，0），F(xiàn)（0，-a，a），
∴$\overrightarrow{AC}$=（0，2a，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$a，a，a），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$a，a，0），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{3}$a，-a，a）．
∴$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，$\frac{2}{3}a$，0），
設(shè)$\overrightarrow{BH}$=λ$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{3}λ$a，-aλ，aλ）．則$\overrightarrow{HG}$=$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BH}$=（-$\sqrt{3}a$（$\frac{2}{3}$-λ），$a（\frac{2}{3}+λ）$，-aλ）．
設(shè)平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2ay=0}\\{-\sqrt{3}ax+ay+az=0}\end{array}\right.$．
令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{HG}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{HG}|}$=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}a}{2•a\sqrt{5{λ}^{2}-\frac{8}{3}λ+\frac{16}{9}}}$=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5{λ}^{2}-\frac{8}{3}λ+\frac{16}{9}}}$．
∴直線GH與平面ACE所成角為30°，∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5{λ}^{2}-\frac{8}{3}λ+\frac{16}{9}}}$=$\frac{1}{2}$．
整理得：5λ²-$\frac{8}{3}λ$+$\frac{4}{9}$=0，方程無解．
∴線段BF上不存在一點H，使直線GH與平面ACE所成角為30°．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與線面角的計算，屬于中檔題．