Question

3．已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其圖象與x軸交于A，B，C三點，若B點坐標(biāo)為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（1）求c的值，寫出極值點橫坐標(biāo)的取值范圍（不需要證明）；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在一點M（x₀，y₀），使曲線y=ax³+bx²+cx+d在點M處的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在[-1，0]與[0，2]上有相反的單調(diào)性．得到f'（0）=0，求解c．然后寫出極值點橫坐標(biāo)的取值范圍即可．
（2）求出導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的極值點，利用（1）的結(jié)果，得到${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，求出a，b關(guān)系，然后利用反證法證明不存在滿足條件的M點．

解答 解：（1）∵f（x）在[-1，0]與[0，2]上有相反的單調(diào)性．∴f'（0）=0，∴c=0．
極值點橫坐標(biāo)的取值范圍是x₁=0，x₂∈[2，4]．
（2）令f'（x）=3ax²+2bx=0，∴f（x）的極值點為${x_1}=0，{x_2}=-\frac{2b}{3a}$．
由（1）得${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，∴$\frac{a}∈[-6，-3]$．
假設(shè)存在滿足條件的點M（x₀，y₀），令f'（x₀）=3b，得$3a{x_0}^2+2b{x_0}-3b=0$，①
∴$△=4{b^2}+36ab=4{a^2}\frac{a}（{\frac{a}+9}）＜0$，
∴方程①沒有實數(shù)根，∴不存在滿足條件的M點．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及反證法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．