已知函數(shù)f(x)=x+
1
x

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并畫出函數(shù)f(x)的簡圖;
(2)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)g(x)=x+
1
x+1
(x≥2)的最小值.
考點:函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f(x)為奇函數(shù),然后通過x取幾個值,并求出對應的f(x)值,通過描點、連線畫出f(x)在(0,+∞)的簡圖,再根據(jù)f(x)圖象根據(jù)原點對稱,畫出它在(-∞,0)的圖象;
(2)通過函數(shù)f(x)圖象即可得到f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)令y=g(x),x+1=t,t≥3,原函數(shù)變成y=t+
1
t
-1
,根據(jù)(2)判斷函數(shù)t+
1
t
在[3,+∞)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性即可求出該函數(shù)的最小值,從而求出t+
1
t
-1
的最小值,即求出g(x)的最小值.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x);
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖象關于原點對稱;
x=
1
2
,1,2,3,4
時,對應的f(x)=
5
2
,2,
5
2
,
10
3
,
17
4
,通過描點連線即可畫出f(x)在(0,+∞)上的圖象,并根據(jù)f(x)圖象關于原點對稱,作出f(x)在(-∞,0)的圖象,如下圖所示:
(2)由圖象可看出f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為:(0,1],[-1,0);
(3)令y=g(x),x+1=t,t≥3,則:
y=t+
1
t
-1
,由(2)知t+
1
t
在[3,+∞)上單調(diào)遞增,所以t=3時,t+
1
t
取最小值
10
3
;
t+
1
t
-1
取最小值
7
3
;
∴g(x)的最小值為
7
3
點評:考查奇函數(shù)的定義,畫函數(shù)簡圖的方法,根據(jù)圖象找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.
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3
2
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1
2
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x+1
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2
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2
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