Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2mlnx（m∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2mx+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x²-2mx+1，
△=4m²-4=4（m²-1），
當(dāng)△＞0即m＞1或m＜-1時(shí)，方程h（x）=0有兩個(gè)根，
設(shè)方程x²-2mx+1=0的兩根是：x₁，x₂，且x₁＜x₂，
解得：x₁=m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，x₂=m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
當(dāng)△≤0時(shí)，即m∈[-1，1]時(shí)，f′（x）≥0，原函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜-1時(shí)，△＞0，兩根均為負(fù)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＞1時(shí)，△＞0，兩根均為正，
故f（x）在區(qū)間（0，m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），（m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，+∞）遞增，在（m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$）遞減．

點(diǎn)評(píng) 題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．