Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（1+a）x²+ax，其中a＞1
（1）求f（x）在的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）最小值及取得時(shí)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）在的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0根據(jù)a的不同取值范圍得到原函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）最小值及取得時(shí)的x的值．

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f'（x）=x²-（a+1）x+a…1分
令f'（x）=0，得x₁=1，x₂=a
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜1…2分
令f'（x）＜0，得1＜x＜a…3分
故（-∞，1）和（a，+∞）為f（x）單調(diào)遞增區(qū)間，（1，a）為f（x）單調(diào)遞減區(qū)間．…5分
（2）因?yàn)閤∈[1，3]，所以
（�。┊�(dāng)a≥3時(shí)，由（1）知，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，…7分
所以f（x）在x=3時(shí)取得最小值，…8分
最小值為：f(3)=

3a+15

2

…9分
（ⅱ）當(dāng)1＜a＜3時(shí)，
由（Ⅰ）知，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，3]上單調(diào)遞增，…11分
所以f（x）在x=a處取得最小值，最小值為：…12分
又f(a)=

1

2

a2-

1

6

a3，…13分
所以當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）在x=3處取得最小值f(3)=

9-3a

2

；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）在x=a處取得最小值f(a)=

1

2

a2-

1

6

a3．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，通過正確的分類，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判處函數(shù)在區(qū)間[1，3]內(nèi)的單調(diào)情況是解決該題的關(guān)鍵，是難題．