Question

（理科）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁（2，0），離心率為e．
①若e=

2

2

，求橢圓的方程；
②設(shè)A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF₁的中點(diǎn)為M，BF₁的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，設(shè)直線AB斜率為k，若k≥

3

，求e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題①已知橢圓的焦點(diǎn)，得到參數(shù)c的值，再利用橢圓的離心率，得到參數(shù)a，b，c的關(guān)系，求出a、b的值，得橢圓的方程；②通過(guò)幾何法得到F1C=CO=

1

2

c，可以求出c的值，由方程組

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x2+y2=4

，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出OA的斜率，由直線AB斜率為k≥

3

，求出a的取值范圍，從而求出e的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：①∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁（2，0），離心率為e=

2

2

，
∴

c=2 c a = 2 2 b2=a2-c2

，
∴

a=2 2 b=2 c=2

．
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
②記線段MN與x軸交點(diǎn)為C．
AF₁的中點(diǎn)為M，BF₁的中點(diǎn)為N，
∴MN∥AB，F1C=CO=

1

2

c．
∵A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
∴CM=CN．
∵原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，
∴CO=CM=CN=

1

2

c．
∴OA=OB=c=2．
∵OA＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=

c

a

＞

2

2

．
設(shè)A（x，y），
由

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x2+y2=4

，
得

x2= 8a2-a4 4 y2= 16-8a2+a4 4

．
∵直線AB斜率為k≥

3

，
∴16-8a²+a⁴≥24a²-3a⁴，
∴a2≥4+2

3

，
a≥

3

+1．
∴e=

c

a

≤

3

-1．
∴離心率e的取值范圍為（

2

2

，

3

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)方程思想，主要上將題中的幾何條件代數(shù)化，得到相應(yīng)的等式、不等式、方程，再加以研究．本題有一定的難度，屬于中檔題．