【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn),右焦點(diǎn)為.延長交橢圓于點(diǎn),且滿足.

(1)試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)作與軸不重合的直線和橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為點(diǎn),且直線分別與直線交于兩點(diǎn),記直線的斜率分別為,則之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,試說明理由.

【答案】(1) (2) 之積為定值,且該定值是

【解析】試題分析:(1),可得,將坐標(biāo)代入求出點(diǎn)E,代入橢圓方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可得橢圓方程;(2) 設(shè),,設(shè)出直線AB的方程,與橢圓方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程并寫出韋達(dá)定理,根據(jù)三點(diǎn)共線得出M,N的坐標(biāo),求出之積得出定值.

試題解析:

(1)橢圓的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.

,可得

,,

代入可得

,解得,

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè),,.

由題意可設(shè)直線的方程為

聯(lián)立消去,

,

根據(jù)三點(diǎn)共線,可得,

.

同理可得,

的坐標(biāo)分別為,,

.

之積為定值,且該定值是.

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問題,弦長問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.

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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).

)當(dāng)時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

)若上的有界函數(shù),且的上界為3,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

)若,求函數(shù)上的上界的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0a1),h(x)=f(x)-g(x).

(1)求函數(shù)h(x)的定義域

(2)判斷h(x)的奇偶性,并說明理由;

(3)f(2)=1,求使h(x)>0成立的x的集合.

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【題目】若運(yùn)行如圖所示的程序框圖,輸出的的值為127,則輸入的正整數(shù)的所有可能取值的個數(shù)為( )

A. 8 B. 3 C. 2 D. 1

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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對任意的恒成立,且當(dāng)時,.

1)求證:是以2為周期的函數(shù)(不需要證明2的最小正周期);

2)對于整數(shù),當(dāng)時,求函數(shù)的解析式;

3)對于整數(shù),記有兩個不等的實(shí)數(shù)根},求集合.

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【題目】摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個座艙,開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,轉(zhuǎn)一周大約需要30min.

1)游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動一周的過程中,H關(guān)于t的函數(shù)解析式;

2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度;

3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里,在運(yùn)行一周的過程中,求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關(guān)于t的函數(shù)解析式,并求高度差的最大值(精確到0.1.

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【題目】從某小區(qū)抽取50戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,將用電量的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如下.

(1)求頻率分布直方圖中的值并估計這50戶用戶的平均用電量;

(2)若將用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶,標(biāo)記為低用電家庭,用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶,標(biāo)記為高用電家庭,現(xiàn)對這兩類用戶進(jìn)行問卷調(diào)查,讓其對供電服務(wù)進(jìn)行打分,打分情況見莖葉圖:

①從類用戶中任意抽取3戶,求恰好有2戶打分超過85分的概率;

②若打分超過85分視為滿意,沒超過85分視為不滿意,請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“滿意度與用電量高低有關(guān)”?

滿意

不滿意

合計

類用戶

類用戶

合計

附表及公式:

<>0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

.

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【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.

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【題目】在一個盒子中有3個球,藍(lán)球、紅球、綠球各1個,從中隨機(jī)地取出一個球,觀察其顏色后放回,然后再隨機(jī)取出1個球.

1)用適當(dāng)?shù)姆柋硎驹囼?yàn)的可能結(jié)果,寫出試驗(yàn)的樣本空間;

2)用集合表示第一次取出的是紅球"的事件;

3)用集合表示兩次取出的球顏色相同的事件.

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